Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal.
Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves.
Leia também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0
O que são monômios?
Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal.
Exemplos:
-
2x² → 2 é o coeficiente; x² é a parte literal.
-
√5ax → √5 é o coeficiente; ax é a parte literal.
-
b³yz² → 1 é o coeficiente; b³yz² é a parte literal.
Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si.
Exemplos:
-
ax² + by + 3
-
5c³d – 4ab + 3c²
-
-2ab + b – 3xa
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por:
anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a
Veja também: Quais são as classes de polinômios?
Grau de um polinômio
Para encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos.
É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável:
Exemplos:
Polinômios de única variável
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3.
b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5.
Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio.
Exemplos:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Analisando a parte literal de cada termo, temos que:
xy → grau 2 (1 + 1)
x²y³ → grau 5 (2 + 3)
y³ → grau 3
Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5.
b) 8a²b – ab + 2a²b²
Analisando-se a parte literal de cada monômio:
a²b → grau 3 (2 + 1)
ab² → grau 2 (1 + 1)
a²b² → grau 4 (2 + 2)
Dessa forma, o polinômio possui grau 4.
Adição de polinômios
Para a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio.
Exemplo:
Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Agora vamos somar os monômios semelhantes:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Subtração de polinômios
A subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes.
Exemplo:
Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x).
O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Então calcularemos:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4
Simplificando os termos semelhantes, temos:
(2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Multiplicação de polinômios
Para realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo.
Exemplo:
Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Aplicando a propriedade distributiva, teremos:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes:
2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta:
2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica?
Divisão de polinômios
Realizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que:
Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dividendo
D(x) → divisor
Q(x) → quociente
R(x) → resto
Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero.
Exemplo:
Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1.
Queremos dividir:
(15x² + 11x + 2) : (3x + 1)
1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor:
15x² : 3x = 5x
2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio:
3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor:
6x : 3x = 2
4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2.
Sendo assim, temos que:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Resolução
Alternativa A
Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero.
Então faremos:
m² – 9 = 0
m² = 9
m = ±√9
m = ±3
Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0.
Então, m ≠ -3.
Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3.
Questão 2 – (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolução
Alternativa D
Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.
Questão 1
Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é:
A) 2
B) 5
C) 9
D) 15
E) 18
Questão 2
Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a:
A) 4
B) 5
C) 8
D) 10
E) 12
Questão 3
Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é:
A) 5
B) – 5
C) 0
D) – 10
E) 10
Questão 4
(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é:
A)
B) 1
C) – 1
D) – 2
Questão 5
Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é:
A) 1,0
B) 1,5
C) 2,0
D) 2,5
E) 3,0
Questão 6
(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa?
A) V(x) = x² − 1
B) V(x) = x³ − 1
C) V(x) = x³ − x
D) V(x) = x³ + 2x² +x
Questão 7
Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3?
A) – 1
B) 3
C) – 3
D) ± 9
E) 9
Questão 8
O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é:
A) 8x + 3
B) 11x
C) 4x² + 2
D) x² + 11
E) 11x – 3
Questão 9
Considerando os polinômios a seguir:
-
X = 2x³ + 4x² + 2y² + 4
-
Y = – 7x² + y² + 2
-
Z = x³ – 2x² + y² + 3
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a:
A) y² + 2x² + 2
B) 2x³
C) 2x³ + x² + y² – 3
D) x² + 4y² + 3
E) x² + y²
Questão 10
Analise as afirmativas a seguir:
I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis.
II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6.
III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 11
O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio:
A) 2x – 1
B) 8x + 4
C) 11x – 3
D) 10x + 4
E) x³ + 3
Questão 12
(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por
A) 2xy
B) 15 − 3x
C) 15 − 5y
D) −5y − 3x
E) 5y + 3x − xy
Resposta - Questão 1
Alternativa A
Calculando p(2):
p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10
p(2) = 8 + 5 · 4 – 10
p(2) = 8 + 20 – 10
p(2) = 28 – 10
p(2) = 18
Calculando q(1):
q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4
q(1) = – 1 + 6 + 4
q(1) = 9
A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.
Resposta - Questão 2
Alternativa B
O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.
Resposta - Questão 3
Alternativa E
Calculando P(1):
P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3
P(1) = 1 + 2 – 5 – 3
P(1) = – 5
Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10
Resposta - Questão 4
Alternativa C
Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que:
D(x) = x + 1
x + 1 = 0
x = – 1
Agora, calculando P(– 1):
P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3
P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3
P(– 1) = – 1
Resposta - Questão 5
Alternativa D
Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que:
p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24
0 = 2 (– 27) + 12k + 24
0 = – 54 + 12k + 24
– 12k = – 54 + 24
– 12k = – 30
k = (– 30) : (– 12)
k = 2,5
Resposta - Questão 6
Alternativa C
Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões:
V(x) = (x – 1) ( x + 1)x
V(x) = (x² – x + x – 1²)x
V(x) = (x² – 1)x
V(x) = x³ – x
Resposta - Questão 7
Alternativa E
Para que o polinômio seja de grau 3, temos que:
k – 9 = 0 e k² – 81 = 0.
Resolvendo a primeira equação, temos que:
k – 9 = 0
k = 9
Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois
9² – 81 = 0
81 – 81 = 0
0 = 0
Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.
Resposta - Questão 8
Alternativa A
Calculando o perímetro:
P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3
P = 8x + 3
Resposta - Questão 9
Alternativa E
Realizando a soma, temos que:
(2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3)
2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6
Juntando os termos semelhantes, encontraremos:
x² + y²
Resposta - Questão 10
Alternativa B
-
I → Falsa. O que define o grau de um polinômio é seu expoente, e não seu coeficiente.
-
II → Verdadeira. Calculando:
P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2
P(2) = 3 · 4 – 8 + 2
P(2) = 12 – 8 + 2
P(2) = 6
-
III → Falsa. O grau do polinômio é 3.
Resposta - Questão 11
Alternativa C
Calculando o perímetro, temos que:
P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2
P = 11x – 3
Resposta - Questão 12
Alternativa E
A área perdida pode ser separada em três retângulos.
O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo.
Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum.
5y + 3x – xy