Calcule a medida C indicada Na figura sabendo que a 4, b 3√2 ec 45o

O esquema representa um triângulo inscrito num círculo de raio R. Na figura estão indicadas as medidas de dois arcos e um dos lados do triângulo. Determine:

a) O valor do raio R;

b) A medida do lado AC;

c) Medida do lado maior do triângulo ABC.

Solução:

a) No triângulo  ∆BOC:

Por Teorema de Pitágoras:

b) No triângulo ∆AOC: 

Por lei dos cossenos:

O ângulo AÔC = 120º (tem o mesmo valor que o arco AC)

c) No triângulo ∆AOB:

Por lei dos senos:

O ângulo AÔB = 150º (tem o mesmo valor que o arco AB)

Por lei dos cossenos:

Podemos notar que os resultados parecem diferentes, mas, são iguais.  Prova-se com pequenas manipulações algébricas:

Demonstração:

Seja x o valor obtido pela lei dos senos:

E seja y o valor obtido pela lei dos cossenos:

Vamos demonstrar que x = y, partindo de y:

Um triângulo tem dois lados medindo 3 m e 5 m. O ângulo formado por eles mede 120º. Assim sendo, calcular:

a) A medida do terceiro lado é:

b) O diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo mede:

Solução:

a) Seja x a medida do terceiro lado, então, por lei dos cossenos tem-se:

b) Seja R o raio do círculo que circunscreve o triângulo, então, tem-se:

O ângulo BÂC = 120º (pelo enunciado) → O arco BC = 120º → O ângulo BÔC = 120º.

Portanto, aplicando lei dos senos no triângulo ∆BOC,

Os lados de um triângulo medem 5 m, 6 m e 7 m. Se x é o menor ângulo do triângulo, determinar o valor do cosseno de x?

Solução

Por aplicação da lei dos cossenos:

Determinar o raio do círculo circunscrito ao triângulo, da questão anterior.

Solução

Pela relação entre ângulo central e ângulo inscrito, tem-se: y = 2x

Veja mais sobre ângulo central e inscrito: clique aqui

Aplicando a lei dos cossenos em triângulo ∆AOB, tem-se, 

No triângulo de desenho, determinar o lado x em função do lado (5) e dos ângulos dados (α e 2α).

Solução:

Aplicando a lei dos senos:

Num retângulo, veja a figura, os lados medem 3 m e 6 m. Seja x é a medida do ângulo agudo, formado pelas diagonais.  Determine sen(x), x e sen(y). 

Pelo Teorema de Pitágoras (∆ABC), tem-se:

Cálculo do sen(x) e x:

Pela lei dos cossenos (∆COD), tem-se:

Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1

Cálculo do sen(y):

Pegando o triângulo ∆ABD:

Em um triângulo ABC o lado AB mede 4√2 e o ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

Solução

Representando geometricamente o enunciado tem-se que:

Pela lei dos senos:

A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100 m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte.

Solução:

Colocando os dados do enunciado no desenho, tem-se:

Pela lei dos senos (∆APB):

Calcule c, sabendo que a = 4, b = 3√2 e C = 45º.

Aplicando a lei dos cossenos, tem-se:

Num triângulo ABC, BC=a, AC=b, Â=45º e B=30º. Qual é o valor de a, sendo a+b=1+√2?

Aplicando a sei dos senos:

Como a+b=1+√2, então temos:

Porém. a=b√2, assim, 

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Ex-01 (FUVEST 2000) Considere os pontos A=(-2,0), B=(2,0), C=(0,3) e P=(0, α), com 0 < α < 3. Pelo ponto P, traçamos as três...