Show
Barisan Aritmatika – Berikut ini adalah pembahasan tentang barisan aritmatika yang meliputi pengertian barisan aritmatika, contoh barisan aritmatika, rumus barisan aritmatika, contoh soal barisan aritmatika. Pengertian Barisan AritmatikaBerdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut.
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal Barisan AritmatikaTentukan jenis barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya. a. 30, 32, 34, 36, 38, … b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, … c. −10, −14, –18, −22, −26, … Jawab Rumus Barisan AritmatikaKamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.
Dari barisan tersebut diperoleh
Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut. Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan uraian berikut.
Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut. Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal Barisan Arimatika============================== Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. Tentukan: a. jenis barisan aritmetikanya, b. suku kedua belas barisan tersebut. Jawab: a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U2 − U1 = 13 − 10 = 3Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik. b. Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut. Un = a + (n − 1)b maka U12 = 10 + (12 − 1) 3 = 10 + 11 · 3 = 10 + 33 = 43Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43. ============================== Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. a. Tentukan beda pada barisan tersebut. b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut. Jawab: Diketahui : suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36 a. Untuk menentukan beda: Un = a + (n − 1) b maka U7 = 6 + (7 − 1) b 36 = 6 + 6 b 36 − 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut. ============================== Diketahui suatu barisan aritmetika :−8, −3, 2, 7, 12, 17, … Jawab: Diketahui: a = U1 = −8 b = U2 − U1 = −3 − (−8) = −3 + 8 = 5 Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah Un = a + (n − 1) b = −8 + (n − 1) 5 = −8 + 5n − 5 = 5n − 13 ============================== Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. Jawab : a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui : U1 = 10 b = 1 U12 = a + (n – 1) b = 10 + (12 – 1) 1 = 10 + 11 = 21Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00. ============================== Di dalam suatu gedung pertunjukan, disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya selalu bertambah dua. Banyak kursi pada baris ke- 20 adalah …. Jawab: Diketahui: Ditanyakan: U20? Penyelesaian: Banyak kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. Jadi, Un = a + (n –1)b U20 = 12 + (20 – 1)2 = 12 + (19)2 = 12 + 38= 50 Baca Juga Artikel Lainnya :
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan
Pengertian AritmatikaAritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap. Rumusan Barisan AritmatikaSuku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut : U1, U2, U3, ….Un Selisih (beda) dinyatakan dengan b
Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Keterangan : Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama → U1 = a b = selisih/beda
Bentuk Barisan Aritmatika
Contoh Barisan Aritmatika
Suku Tengah Barisan AritmatikaJika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil. Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan Un = a + b(n-1) Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun. U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n Contoh Barisan Aritmatika :Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, … Jawab:
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
Jawab :
Jadi 198 adalah suku ke- 40 Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : √ 54 Gambar Jaring jaring Balok Lengkap Dengan Contohnya Deret AritmatikaDeret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika : a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b ) Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan: Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un ) Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika. Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ). 3 +7 + 1l + 15 + 19 + … Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah : Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Sisipan pada Barisan AritmatikaApabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka: Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:
Keterangan:
Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Kuartil, Desil, Persentil LENGKAP Contoh Sisipan Barisan AritmatikaAntara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah … Penyelesaian: Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, … Jawab:
a). -550 b). -250 c). -75 d). -115 c). -250 Penyelesaian :
Jawaban : A 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah ….. a). 105 b). 120 c). 150 d). 155 e). 165 Penyelesaian :
Jawaban : B
a). 2 b). 3 c). 8 d). 10 e). 12 Penyelesaian :
Jawaban : D
a). 7 b). 6 c). 9 d). 10 e). 18
Jawaban : C
a). 345 b). 44 c). 49 d). -40 e). -44 Penyelesaian :
Eliminasi a + 3b = 11 a + 7b = 23 -4b = -12 b = = 3 Substansi a + 3b = 11 a + 3 (3) = 11 a + 9 = 11 a = 11 – 9 = 2
Jawaban : B
a). 25 b). 26 c). 28 d). 31 e). 34 Penyelesaian :
Eliminasi :
Subtitusi :
Jawaban : A
a). 69 b). 73 c). 77 d). 81 e). 83 Penyelesaian :
eliminasi :
subtitusi :
Jawabannya : d).
a). Rp. 1.205.000 b). Rp. 1.255.000 c). Rp. 260.000.000 d). Rp. 1.530.000 Penyelesaian :
Jawabannya : d). 1.530.000
a). 625.000 unit b). 875.000 unit c). 1.125.000 unit d). 1.375.000 unit e). 1.625.000 unit Penyelesaian :
Jawaban : B
a). 24 b). 25 c). 26 d). 27 e). 28 Penyelesaian :
Jawaban : C Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Volume Tabung : Luas Permukaan, Tinggi, & Contoh Soal
a).2000 b).1950 c).1900 d).1875 e).1825 Penyelesaian :
Jawaban : D
a).Rp. 670.000 b).Rp. 340.000 c).Rp. 335.000 d).Rp. 220.000 e).Rp. 700.000 Penyelesaian :
Jawabannya : C
a).2 b).8 c).1 d).4 Penyelesaian :
Jawaban : D
a).-81 b).-52 c).-46 d).46 e).81 Penyelesaian :
Jawaban : E
a).4 b).8 c).12 d).14 e).16 Penyelesaian :
Jawaban : E Contoh 2.1
U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2
Tentukan unsur ke 1, ke 3, dan ke 4 dari barisan itu. Penyelesaian:
Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
Contoh 2.2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu. Penyelesaian: Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, diperoleh
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20. Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? Penyelesaian: Misalkan: a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000. b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun. P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari. Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,- Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika. Contoh 2.4 Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +…. Penyelesaian: Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh karena itu dengan menggunakan rumus Sn =
Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975. Contoh 2.5 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100. Penyelesaian: Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99. Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertamatama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n dengan menggunakan rumus:
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875. Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Kerucut : Volume Luas Permukaan, Tinggi, Dan Gambar
|