Apakah anti turunan dan integral itu sama kalau sama kenapa

Beberapa terapan integral dalam kehidupan sehari-hari:

1. Peramalan jumlah populasi pada masa untuk beberapa tahun yang akan datang.

2. Penentuan konsumsi energi di Bandung pada suatu hari.

3. Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.

Anti Turunan

Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk setiap $x\in I$.

Teorema anti turunan secara umum

Jika F anti turunan dari f pada interval I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C dengan C adalah konstanta sembarang.

Formula-formula anti turunan

1. Fungsi: kf(x) ; Anti turunan: kF(x) + C ; k=konstanta, C=konstanta

2. Fungsi: f(x) $\pm$ g(x) ; Anti turunan: F(x) $\pm$ G(x) + C

3. Fungsi: $x^{n}, n\neq -1$ ; Anti turunan: $x^{n+1}/{(n+1)}+C$ ; C=konstanta

4. Fungsi: sin x ; Anti turunan: -cos x + C; C=konstanta

5. Fungsi: cos x ; Anti turunan: sin x + C; C=konstanta

6. Fungsi: sec²(x) ; Anti turunan: tan x + C; C=konstanta

7. Fungsi: csc²(x) ; Anti turunan: -cot x + C; C=konstanta

8. Fungsi: sec x tan x ; Anti turunan: sec x + C; C=konstanta

9. Fungsi: csc x cot x ; Anti turunan: -csc x + C; C=konstanta

Luas di Bawah Kurva

• Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luas daerah bidang rata
• Bagaimana menentukan luas daerah bidang rata s yang dibatasi oleh kurva  y=f(x)≥0, sumbu-x, garis x = a, x = b? Lihat grafik di atas

Pendekatan persegi panjang untuk menghitung luas

1. Buat n persegi panjang dengan luas A₁,A₂_ ,A₃,...,Aₙ
2. Luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegi panjang
3. Makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A
4. Luas A didefinisikan sebagai penjumlahan tak hingga banyak persegi panjang

Lihat gambar di bawah ini:

Perhitungan luas dengan pendekatan persegi panjang

Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu  y=f(x)≥0 sumbu-x, garis x = a, x = b, maka lakukan:

1. Bagi interval [a,b] menjadi n interval bagian a=[x₀,x₁],[x₁,x₂],...,[xₙ₋₁,xₙ] dengan sama panjang, yakni $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, sehingga akan berlaku $x_{i}=a+i\Delta x$
2. Pada setiap interval bagian $[x_{i-1},x_{i}]$ buat persegi panjang dengan lebar $\Delta x$ dan panjang $f(x_{i})$, sehingga luas $A_{i}=f(x_{i})\Delta x$

dengan i = 1,2,3,... 

Definisi luas di bawah kurva

$A=\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}$ $=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$ $=\lim_{n\rightarrow \infty }[f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+...+f(x_{n})\Delta x]$

$R_{n}$ adalah Jumlah Riemen$

Berikut ini diberikan formula notasi sigma, diantaranya:

$1. \sum_{i=1}^{n}c=cn ;$

$2. \sum_{i=1}^{n}cx_{i}= c\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

$3. \sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm y_{i} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm \sum_{i=1}^{n}y_{i}$

$4. \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

$5. \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$6. \sum_{i=1}^{n}i^{3} = \left ( \frac{n(n+1)}{6} \right )^{2}$

dengan c adalah konstanta

Integral Tentu

Konsep jumlah Rieman $R_{n}$ (pada luas di bawah kurva) dapat diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x atau $S_{2}$

Jumlah Riemen pada $S_{2}$ negatif karena $f(x_{i})< 0$

Pada interval [a,b], lambang pada limit jumlah Rieman dapat diganti dengan lambang integral tentu

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Perhatikan grafik di bawah ini:

Definisi integral tentu
Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah  $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x$ dengan:

$c_{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]$ ; $\Delta x=\frac{b-a}{n}$; $[ x_{i-1},x_{i} ]$ adalah interval bagian ke-i dari $[a,b]=[x_{0},x_{n}]$ dimana i adalah 1,2,....

Hasil Evaluasi Integral Tentu

$\int_{a}^{b}f(x)dx, b\geq a$

menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu dari tiga kemungkinan berikut:

1. Apabila lebih besar 0 ( >0 )

- Seluruh daerah berada di atas sumbu-x

- Luas daerah di atas sumbu-x  > luas daerah di bawah sumbu-x

2. Apabila lebih kecil 0 ( < 0 )

- Seluruh daerah berada di bawah sumbu-x

- Luas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

3. Apabila sama dengan 0 ( = 0 )

- f (x) = 0 atau a = b

- Luas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x

Sifat-Sifat Integral Tentu

Berikut adalah sifat-sifat umum dari integral tentu:

$1. \int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$

$2. \int_{a}^{a}f(x)dx=0$

$3. \int_{a}^{b}cdx=c(b-a)$

$4. \int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$
$4. \int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$

$5. \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
$5. \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

$6. \int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$

Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

1. Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.
2. Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitungan rumit seperti limit Jumlah Riemann.
3. Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial: Teorema Dasar Kalkulus (TDK).
4. Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebih
   mudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.

Ilustrasi geometri teorema dasar kalkulus 1

Teorema dari Teorema dasar kalkulus 1
Jika f kontinu di [a,b] maka $F(x)= \int_{a}^{x}f(t)dt$ kontinu pada [a,b], terturunkan pada (a,b), dan turunnannya adalah f(x)
$F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

Teorema Dasar Kalkulus 2

Teorema dari teorema dasar kalkulus 2
Jika f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f pada [a,b], maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Teorema dasar kalkulus 2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,

jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.

Berdasarkan teorema dasar kalkulus 2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:

1. Tentukan anti turunan F dari f ,

2. Evaluasi F(b) - F(a) .

Integral Tak Tentu

Definisi integral tak tentu
Misalkan F adalah anti turunan f Integral tak tentu f(x) terhadap x adalah
$\int f(x)dx=F(x)+C$

- Hasil integral tentu  berupa suatu bilangan sedangkan hasil integral tak tentu berupa fungsi.

- Integral tak tentu adalah lambang lain anti turunan.

Formula Integral Tak Tentu

Berikut ini disajikan beberapa formula dari integral tak tentu, diantaranya:

$1. \int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

$2. \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

$3. \int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1)+C , n\neq -1$

 $4. \int sinxdx= -cos x +C$

$5. \int cosxdx= sin x +C$

Aturan Substitusi

Aturan substitusi digunakan pada kasus:

-  Sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapi

- Bagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.

Teorema aturan substitusi
Jika u = g(x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada $W_{g}$, maka $\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

Integral Fungsi Simetri

Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan bahwa:

• Jika f fungsi genap, maka: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{-a}^{0}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$
• Jika f fungsi ganjil, maka: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$

Ilustrasi Geometri (Integral Fungsi Simetri)