Apa yang dimaksud dengan range fungsi?

Fungsi adalah salah satu materi yang sangat penting untuk dipelajari sebelum kamu memasuki bab lainnya, seperti turunan dan integral. Untuk itu mari kita belajar tentang fungsi, mulai dari fungsi linier, fungsi kuadrat fungsi rasional serta operasi dan fungsi komposisi dan invers.

Fungsi Linier

Sumber: Dokumentasi penulis

Fungsi linier adalah fungsi dengan variabel bebas yang berpangkat tertinggi satu. Fungsi linear dapat digambarkan dengan garis lurus. Berikut adalah bentuk umum fungsi linear :

f(x) = y = ax + b

y = variabel terikat

a = koefisien (a 0)

x = variabel bebas

b = konstanta

Contoh soal

Masukkan titik pada bentuk umum fungsi linier

y = ax + b

3 = a(0) + b

b = 3

y = ax + 3

0 = a(-3) + 3

-3 = -3a

a = 1

Fungsi linearnya adalah f(x) = y = x + 3

Buatlah titik-tik yang dilalui !

XY03-12-21-30

Gambarlah grafik dari fungsi linear tersebut!

Sumber: Dokumentasi penulis

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi dengan variabl bebas yang berpangkat tertinggi dua. Fungsi kuadrat dapat digambarkan dengan garis lengkung. Berikut adalah bentuk umum fungsi kuadrat :

f(x) = y = ax2 + bx + c

y = variabel terikat

a dan b = koefisien (a 0)

x = variabel bebas

c = konstanta

Baca juga: Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Sifat Fungsi Kuadrat

Grafik terbuka ke atas ketika a > 0 yang memiliki titik balik dan grafik terbuka ke bawah ketika a < 0 yang memeiliki titik puncak. Titik puncak adalah titik maksimal yang dilalui fungsi kuadrat sebelum garis menurun kembali, sedangkan titik balik adalah titik minimum yang dilalui fungsi kuadrat sebelum garis menanjak kembali.

Sumbu simetri adalah garis bayangan yang membagi grafik menjadi dua sama rata, sehingga berada di titik puncak atau titik balik x = -b/2a. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu y pada titik (0, c). Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x pada saat D 0. Dimana D = b2 4ac untuk D > 0 maka grafik akan menyinggung sumbu x di dua titik, sementara D = 0 maka grafik akan menyinggung sumbu x di satu titik.

Contoh soal

Sebuah grafik y = x2 + mx + n memiliki titik balik (5,6). Tentukanlah m dan n!

Penyelesaian:

Masukkan titik pada rumus titik puncak

x = -b/2a

5 = -b/2(1)

b = -10

m = b = -10

y = x2 + mx + n

6 = (5)2 -10(5) + n

6 = 25 50 + n

n = 31

y = x2 10x + 31

Jadi m = 10 dan n = 31.

Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah perbandingan dari dua polinomial. Fungsi rasional dapat digambarkan dengan garis lengkung yang dicerminkan. Berikut adalah bentuk umum dari fungsi rasional :

v(x) = p(x)/d(x)

d(x) 0

v(x) = bilangan real kecuali pembuat nol dari d

p dan d = polinomial.

Sumber: Dokumentasi penulis

H bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu x negatif dan berlaku sebaliknya,

K bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu y positif dan berlaku sebaliknya.

Contoh soal

Fungsi rasional f(x) = 1/x digeser ke arah sumbu x positif sejauh 5 satuan dan ke arah sumbu y negatif sejauh 3 satuan. Tentukan bentuk fungsi rasional tersebut sekarang!

Penyelesaian:

Sumber: Dokumentasi penulis

Notasi Fungsi

Fungsi adalah relasi himpunan x ke himpunan y yang menghubungkan antara setiap anggota himpunan x tepat pada satu anggota himpunan y. Berikut adalah bentuk umum fungsi :

f : x y

f(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan, sehingga dapat dinyatakan :

f(x) = y

y adalah fungsi dari x, sehingga nilai dari y bergantung pada nilai x.

(Sinaga dkk., 2017)

Domain dan Range

Domain (Daerah asal) adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi (f anggota himpunan bilangan real).

Df = {x : xR}

(Sinaga dkk., 2017)

Range (Daerah hasil) adalah himpunan semua bilangan real y yang terdefinisi dengan anggota himpunan bilangan real x.

Rf = {y : yR}

Contoh soal

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut !

Sumber: Dokumentasi penulisSumber: Dokumentasi penulis

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi

Menggambar sketsa grafik suatu fungsi didahui dengan menemukan bentuk persamaan apakah linear, kuadrat, atau rasional. Ciri dari fungsi linear memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi satu. Ciri dari fungsi kuadrat memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi dua.

Ciri dari fungsi rasional adalah berbentuk rasio atau perbandingan. Kemudian buatlah tabel yang berisi titik yang dilalui grafik. dari suatu fungsi. Selanjutnya hubungkan titik-titik sehingga menjadi grafik.

Baca juga: Yuk Pelajari Materi Eksponensial

Contoh soal

Gambarkan sektsa grafik fungsi dari f(x) = x2 +2 !

Penyelesaian:

f(x) = x2 +2 adalah persamaan kuadrat karena x berpangkat dua.

a = 1 > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

Titik balik berada pada (0, 2)

x = -b/2a = -(0)/2(1) = 0

y = x2 +2 = (0)2 +2 = 2

Buatlah tabel

Xf(x) = y(x, y)311(3, 11)26(2, 6)13(1, 3)02(0, 2)-13(-1, 3)-26(-2, 6)-311(-3, 11)

Gambarlah sketsa grafik fungsi dari titik-titik pada tabel !

Sumber: Dokumentasi penulis

Operasi Aljabar pada Fungsi

Jika f dan g adalah fungsi, maka Df adalah daerah asal fungsi f dan Dg adalah daerah asal fungsi g. Opeasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D f + g = Df Dg

(f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal Df g = Df Dg

(f×g)(x) = f(x)×g(x) dengan daerah asal D f×g = Df Dg

(f /g)(x) = f(x) / g(x) dengan daerah asal D f / g = Df Dg {xl g(x) = 0}.

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x2+ 5x + 6 dan g(x) = x + 2. Tentukan fungsi-fungsi dari operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian berikut daerah asalnya !

Penjumlahan

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= (x2+ 5x + 6) + (x + 2)

= x2+ 6x + 8

D f + g = Df Dg

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

(g + f)(x) = f(x) + g(x)

= (x + 2) + (x2+ 5x + 6)

= x2+ 6x + 8

Dg+ f = DgDf

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

Jadi fungsi penjumlahan (f + g)(x) = (g + f)(x) = x2+ 6x + 8 dengan daerah asal Df+g = Dg+ f = {xl xR}.

Pengurangan

(f g)(x) = f(x) g(x)

= (x2+ 5x + 6) (x + 2)

= x2+ 4x + 4

Df g = Df Dg

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

(g f)(x) = g(x) f(x)

= (x + 2) (x2+ 5x + 6)

= x2 4x 4

Dg f = DgDf

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

Jadi fungsi pengurangan (f g)(x) = x2+ 4x + 4 dan (g f)(x) = x2 4x 4 dengan daerah asal Df g = Dg f = {xl xR}.

Perkalian

(f×g)(x) = f(x)×g(x)

= (x2+ 5x + 6) × (x + 2)

= x3 + 7x2 + 16x + 12

D f×g = Df Dg

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

(g×f)(x) = g(x)×f(x)

= (x + 2)× (x2+ 5x + 6)

= x3 + 7x2 + 16x + 12

Dg×f = DgDf

= {xl xR}{xl xR}

= {xl xR}

Jadi fungsi perkalian (f×g)(x) = (g×f)(x) = x3 + 7x2 + 16x + 12 dengan daerah asal D f×g = Dg×f = {xl xR}.

Pembagian

(f /g)(x) = f(x)/g(x)

= (x2+ 5x + 6) / (x + 2)

= (x + 3)(x + 2) /(x + 2)

= x + 3

D f / g = Df Dg dan g(x) 0

= {xl xR}{xl xR dan x + 2 0}

= {xl xR, x -2}

(g/f)(x) = g(x)/f(x)

= (x + 2)/(x2+ 5x + 6)

= (x + 2)/(x + 3)(x + 2)

= 1/(x + 3)

Dg/ f = DgDf dan f(x) 0

= {xl xR}{xlxR}dan (x + 3)(x + 2) 0}

= {xl xR, x -3, x -2}

Jadi fungsi pembagian (f /g)(x) = x + 3 dengan daerah asal D f /g = {xl xR, x -2} dan (g/f)(x) = 1/(x + 3) dengan daerah asal Dg/ f = {xl xR, x -3, x -2}.

Fungsi Komposisi

Jika fungsi f dan g dan DfDg Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis gof) yang dinyatakan dengan:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

Dgof = daerah asal fungsi komposisi f dan g = {xDf l f(x)Dg}

Df = daerah asal (domain) fungsi f;

Dg = daerah asal (domain) fungsi g

Rf = daerah hasil (range) fungsi f;

Rg = daerah hasil (range) fungsi g

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Diketahui fungsi komposisi (fog)(x) = 21x2 + 7x 55 dan fungsi f(x) = 7x + 1. Tentukan fungsi g(x) dan fungsi komposisi (gof)(x) !

Penyelesaian:

(fog)(x) = f(g(x))

21x2 + 7x 55 = 7×g(x) + 1

21x2 + 7x 56 = 7 × g(x)

g(x) = 3x2 + x 8

(gof)(x) = g(f(x))

= 3(7x + 1)2 + (7x + 1) 8

= 3(49 x2 + 14x + 1) + 7x 7

= 147 x2 + 42x + 3 + 7x 7

= 147 x2 + 49x 4

Jadi fungsi g(x) = 3x2 +x -8 dan fungsi komposisi (gof)(x) = 147x2 + 49x 4.

Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi

Sifat komunikatif pada operasi fungsi komposisi tidak memenuhi,

(gof) (fog)

Operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif pada fungsi f, g, dan h. Jika RhDg Ø; RgohDf Ø; RgDf Ø; RhDfogØ.

fo(goh) = (fog)oh

Jika fungsi f, fungsi identitas I dan Rf Df Ø, maka terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu

foI = Iof = f

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Diketahui fungsi komposisi (fo(goh))(x) = 4x2 28x + 52, fungsi f(x) = x + 6 dan fungsi g(x) = x2 3. Tentukan fungsi h(x +3) !

Penyelesaian:

(fog)(x) = (x2 3) + 6 = x2 + 3

(fog)(x) = x2 + 3

(fo(goh))(x) = ((fog)oh)(x)

4x2 28x + 52 = (h(x))2 + 3

(h(x))2 = 4x2 28x + 49

(h(x))2 = (2x -7)2

h(x) = ±(2x -7)

h(x) = 2x -7 atau h(x) = 7 2x

h(x) = 2x -7

h(x+3) = 2(x+3) -7 = 2x -1

h(x) = 7 2x

h(x +3) = 7 2(x+3) = 1 2x

Jadi fungsi h(x +3) = 2x -1 atau h(x +3) = 1 2x

Fungsi Invers serta Sifat-Sifatnya

Jika fungsi f memetakan A ke B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x,y) lxA dan yB}, maka invers fungsi f (dilambangkan f1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan

f1 = {(y,x) l yB dan xA}.

Suatu fungsi f : A B dikatakan memiliki fungsi invers f1 : B A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif.

Jika fungsi f : DfRf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f1: RfDf dengan kata lain f1 adalah fungsi dari Rf ke Df.

Df = daerah asal fungsi f dan

Rf = daerah hasil fungsi f.

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Seorang agen galon memperoleh keuntungan sesuai dengan fungsi f(x) = 5.000x + 3.000, untuk setiap x galon yang terjual. Jika keuntungan agen galon hari ini adalah 403.000,-, berapakah banyak galon yang terjual hari ini?

Penyelesaian:

f(x) = 5.000x + 3.000

403.000 = 5.000x + 3.000

400.000 = 5.000x

x = 80

Jadi ada 80 galon yang terjual hari ini.

Menemukan Rumus Fungsi Invers

Fungsi invers f1 dari fungsi f untuk setiap xDf dan yRf, maka berlaku :

y = f(x) jika dan hanya jika f1 (y) = x.

Fungsi f adalah sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf, sedangkan I(x) = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika

(fo f1)(x) = x = I(x) untuk setiap xDf, dan

(f1of)(x) = x = I(x) untuk setiap xRf

Fungsi f adalah sebuah fungsi bijektif dan f1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan

(f1)-1 = f

Fungsi f dan g merupakan fungsi bijektif, maka berlaku :

(gof)-1 = (f1og-1)

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = x + 8 dan g(x) = 3x -5. Tentukan f1, g-1, (fog)-1, dan (gof)-1!

Penyelesaian:

Pertama temukan f1, dan g-1 dahulu. Kemudian untuk menentukan (fog)-1, dan (gof)-1 gunakan fungi invers f1, dan g-1. Langkah ini lebih cepat dari pada menuntukan komposisi dan diinvers.

f(x) = x + 8

y = x + 8

Ditukar antara x dan y

x = y + 8

y = x 8

f1 = x 8

g(x) = 3x -5

y = 3x -5

Ditukar antara x dan y

x = 3y -5

x + 5 = 3y

y = (x + 5)/3

g-1 = (x + 5)/3

(fog)-1 = (g1of1)

= [(x 8) + 5]/3

= x/3 -1

(gof)-1 = (f1og-1)

= [(x + 5)/3] -8

= (x 19)/3

Jadi f1 = x 8, g-1 = (x + 5)/3, (fog)-1 = x/3 -1, dan (gof)-1 = (x 19)/3.

Baca juga: Yuk Pelajari Materi Logaritma

Demikianlah materi tentang fungsi, semoga kalian semua bisa memahami serta bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi. Sukses buat kita semua.

Sumber:

Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.