Apa itu himpunan relasi dan fungsi?

Relasi

Relasi, dalammatematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunanAdan himpunanB(Abisa sama denganB), maka relasiRdariAkeBadalahsubhimpunandariA×B.

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuahfungsi proposisiataukalimat terbukayang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunanB= {apel, jeruk, mangga, pisang} dengan himpunanW= {hijau, kuning, orange}. Suatu relasiRdariAkeBdidefinisikan sebagaiR= {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisiw(x, y) = xberwarnay, yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasiR.

Relasi A×A

Sebuah relasiA×A, yaitu relasi dari himpunanAkepadaAsendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Kita menyebut relasiRdariAkepadaAsebagai relasiRdalamA.

Relasi Refleksif

Sebuah relasiRdalamAdisebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemenAberhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi xselalu bersamay., denganxdanyadalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

RelasiRdalamAdisebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemenAtidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi irefleksif adalah relasi xmampu mencukur rambutydengan rapi sempurna., denganxdanyadalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukurayang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

RelasiRdalamAdisebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggotaAberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jikaaterhubung denganb, makabjuga terhubung dengana. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

atau

Sebuah relasi x+ygenap adalah relasi simetrik, karena untuk sembarangxdanyyang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilaiydanx, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiapadanbyang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsiadanbberlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

atau

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

atau

Relasi

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jikaaberhubungan denganb, danbberhubungan denganc, makaaberhubungan dengancsecara langsung.

atau

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

RelasiEkivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat denganpartisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

Fungsi (matematika)

Fungsi, dalam istilahmatematikaadalah pemetaan setiap anggota sebuahhimpunan(dinamakan sebagaidomain) kepada anggotahimpunanyang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti alatnya berfungsidengan baik.Konsepfungsi adalah salah satu konsep dasar darimatematikadan setiapilmukuantitatif. Istilah fungsi, pemetaan, peta, transformasi, dan operator biasanya dipakai secarasinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika sepertibilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalahy=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsifyang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsifyang memetakan dua himpunan,AkepadaB. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsifdapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi